Valuación Actuarial
NIF D-3 urgente.

1. Notación base y supuestos

Toda valuación de pasivos contingentes se construye sobre un marco común de variables y funciones de supervivencia. La notación que sigue es la usada por la International Actuarial Association (IAA) en sus ISAP 1/2/3.

2. Probabilidades multidecremento

Un empleado activo puede salir de la población por al menos cinco causas distintas; en cada año \( t \) la población se reduce según el producto de no haber salido por ninguna causa en los años anteriores.

Probabilidad de seguir activo en el año \( t \)

$$ {}_{t}p_x^{(\tau)} = \prod_{k=0}^{t-1} \left( 1 - q_{x+k} - i_{x+k} - w_{x+k} - d_{x+k} - r_{x+k} \right) $$

Probabilidad de salir por causa \( j \) en el año \( t \)

$$ {}_{t|}q_x^{(j)} = {}_{t}p_x^{(\tau)} \cdot j_{x+t} \qquad \text{donde } j \in \{q, i, w, d, r\} $$

Identidad fundamental (suma de causas)

$$ \sum_{t=0}^{R-x-1} \sum_{j} {}_{t|}q_x^{(j)} + {}_{R-x}p_x^{(\tau)} = 1 $$

Interpretación: toda la masa probabilística debe distribuirse entre salidas anticipadas (cada causa, cada año) y la sobrevivencia hasta la edad de retiro.

3. Modelo dinámico de mortalidad (mejora generacional)

El estándar actuarial moderno reconoce que las tasas de mortalidad caen con el tiempo por mejora médica y tecnológica. Aplicar tasas estáticas subestima la longevidad y el pasivo de pensiones.

Fórmula generacional

$$ q_{x,t} = q_{x,\text{base}} \cdot (1 - TM_x)^{(t - t_{\text{base}})} $$

Donde \( TM_x \) es la tasa anual de mejora aplicable a la edad \( x \) (típicamente 1.0%–2.0% en México, decreciente para edades muy altas).

Aplicación práctica

Aplicar el ajuste doble: (a) del año base de la tabla (2009 para EMSSA-09) a la fecha de valuación; (b) de la fecha de valuación a cada año futuro de proyección.

Impacto financiero típico

Para un plan BD con horizonte 15-25 años, omitir mejora generacional subestima el pasivo entre 8% y 15%. NIF D-3 §141 e IAS 19 §82 exigen reflejar la mejora cuando sea material.

4. Crédito Unitario Proyectado · CUP / PUC ★ Método obligatorio NIF D-3 / IAS 19

Projected Unit Credit Method. Atribuye una porción del beneficio total proyectado a cada año de servicio. Reconoce el beneficio conforme se devenga, usando salarios proyectados.

Beneficio total proyectado a la salida

$$ B(x,t) = f \cdot S_x \cdot (1+s)^t \cdot (n+t) $$

Donde \( f \) es el factor de beneficio (ej. 12 días en Prima Antigüedad; % por año de servicio en plan BD).

Beneficio atribuido al servicio actual

$$ B^*(x,t) = B(x,t) \cdot \dfrac{n}{n+t} $$

VPOT — Valor Presente de las Obligaciones Totales

$$ \text{VPOT} = \sum_{t=0}^{R-x-1} \sum_{j} B(x,t) \cdot {}_{t|}q_x^{(j)} \cdot v^{t+1} $$

OBD — Obligación por Beneficios Definidos

$$ \boxed{\text{OBD} = \sum_{t=0}^{R-x-1} \sum_{j} B^*(x,t) \cdot {}_{t|}q_x^{(j)} \cdot v^{t+1}} $$

Es el pasivo reconocido en balance bajo NIF D-3 / IAS 19.

Costo Normal (Costo Laboral del Servicio Actual)

$$ \text{CN} = \sum_{t=0}^{R-x-1} \sum_{j} \Delta B^*(x,t) \cdot {}_{t|}q_x^{(j)} \cdot v^{t+1} $$

Ventajas: reconocimiento consistente del beneficio con el servicio prestado; alineado con principio de devengado.
Limitaciones: requiere proyección de salarios; sensible a hipótesis de incremento salarial.
Marco normativo: requerido por NIF D-3 §107, IAS 19 §67, ASC 715-30.

5. Crédito Unitario Acumulado · ABO

Accumulated Benefit Obligation. Variante del CUP sin proyección salarial. Mide la obligación basándose en el salario actual congelado.

Beneficio acumulado a la fecha

$$ B^{ABO}(x) = f \cdot S_x \cdot n $$

Obligación ABO

$$ \boxed{\text{ABO} = \sum_{t=0}^{R-x-1} \sum_{j} B^{ABO}(x) \cdot {}_{t|}q_x^{(j)} \cdot v^{t+1}} $$

Uso típico: referencia para análisis de adecuación de activos; ASC 715 lo requiere como revelación complementaria; útil para evaluar el "settlement amount" si el plan se terminara hoy.
Relación con PBO: ABO ≤ PBO siempre (ABO no incluye crecimiento salarial futuro).
Cuando ABO > valor de mercado activos del plan: se debe reconocer Pasivo Mínimo Adicional bajo US GAAP.

6. Obligación por Beneficios Proyectados · PBO

Projected Benefit Obligation. Bajo US GAAP ASC 715 es la obligación de referencia. Equivale conceptualmente al OBD de NIF D-3 / IAS 19 pero con reglas específicas para amortización de servicio pasado.

Beneficio proyectado total

$$ B^{PBO}(x,t) = f \cdot S_x \cdot (1+s)^t \cdot n $$

Diferencia con CUP: el factor de antigüedad usado es \( n \) (servicio actual) no \( n+t \) (servicio a la salida). El crecimiento solo viene del salario proyectado.

Obligación PBO

$$ \text{PBO} = \sum_{t=0}^{R-x-1} \sum_{j} B^{PBO}(x,t) \cdot {}_{t|}q_x^{(j)} \cdot v^{t+1} $$

Marco normativo: US GAAP ASC 715-30. Requerido en estados financieros bajo USGAAP.

7. Costo Nivelado de Entrada · EAN — Entry Age Normal

Entry Age Normal Method. Determina una contribución nivelada que, pagada desde la fecha de ingreso hasta el retiro, financia exactamente el beneficio. Es popular para planes públicos y fideicomisos de pensiones.

Costo Normal nivelado

$$ \text{CN}^{EAN} = \dfrac{\text{VPOT}}{\sum_{k=0}^{R-x_e-1} {}_{k}p_{x_e}^{(\tau)} \cdot v^{k} \cdot (1+s)^k} $$

Donde \( x_e \) es la edad de ingreso al plan y la suma del denominador es la anualidad de pago nivelado desde el ingreso.

Pasivo Acumulado EAN (Accrued Liability)

$$ \text{AL}^{EAN} = \text{VPOT} - \text{CN}^{EAN} \cdot \sum_{k=0}^{R-x-1} {}_{k}p_x^{(\tau)} \cdot v^{k} \cdot (1+s)^k $$

Ventajas: contribución nivelada predecible para presupuesto y fondeo; usa el costo más estable en el tiempo.
Limitaciones: no permitido para reconocimiento contable bajo NIF D-3 / IAS 19; permitido solo para diseño de fondeo o planes públicos en jurisdicciones que lo aceptan.
Marco normativo: ASC 960 (planes públicos), uso interno de actuario para diseño.

8. Costo de Edad Alcanzada · AAN — Attained Age Normal

Attained Age Normal Method. Similar al EAN pero el costo nivelado se calcula desde la edad actual del empleado, no desde su edad de ingreso.

Costo Normal nivelado desde edad actual

$$ \text{CN}^{AAN} = \dfrac{\text{VPOT} - \text{AL}^{AAN}}{\sum_{k=0}^{R-x-1} {}_{k}p_x^{(\tau)} \cdot v^{k} \cdot (1+s)^k} $$

Donde \( \text{AL}^{AAN} \) es el pasivo acumulado a la fecha (frecuentemente el PBO o ABO según política).

Diferencia clave con EAN: EAN proyecta hacia adelante desde el ingreso original (puede tener carga "negativa" si el empleado ya pasó suficientes años); AAN parte de la situación actual.
Uso: diseño de fondeo y referencia técnica.

9. Método de Costo Agregado · Aggregate Cost Method

Trata al grupo de empleados como una unidad, sin asignar costos individuales. El costo normal se calcula como la prima nivelada que financia el déficit del grupo completo en su vida laboral remanente promedio.

Costo Normal agregado

$$ \text{CN}^{Agr} = \dfrac{\text{VPOT}_{\text{grupo}} - \text{AP}}{\sum_{i} a_i \cdot {}_{k}p_{x_i}^{(\tau)}} $$

Donde \( \text{AP} \) son los activos del plan y \( a_i \) la anualidad de salario del empleado \( i \).

Ventajas: simple para planes multipatronales o cerrados sin ingresos nuevos; suaviza el costo.
Limitaciones: no atribuye costo individual; no separable por empleado; no aceptado para reconocimiento NIF D-3 / IAS 19.
Marco normativo: ERISA (USA) para planes multipatronales; planes públicos.

10. Pasivo Inicial Congelado · FIL — Frozen Initial Liability

Mezcla del método EAN/AAN con el método Agregado: se "congela" el pasivo inicial (a la inception del plan) y se financia el resto vía Costo Normal agregado.

Pasivo congelado inicial

$$ \text{FIL}_0 = \text{AL}^{EAN}_0 - \text{AP}_0 $$

Costo Normal subsecuente

$$ \text{CN}^{FIL} = \dfrac{\text{VPOT}_t - (\text{FIL}_0 \cdot (1+i)^t - \text{contribuciones acumuladas}) - \text{AP}_t}{\sum_{i} a_i \cdot {}_{k}p_{x_i}^{(\tau)}} $$

Uso: planes con bajas ganancias actuariales recurrentes; planes en transición. Se amortiza FIL en un periodo predefinido (ej. 20 años).
Marco normativo: permitido bajo ERISA y planes públicos; no aceptado bajo NIF D-3 / IAS 19 para reconocimiento.

11. Prima Nivelada Individual · ILP — Individual Level Premium

Para cada empleado calcula la prima nivelada individual que financia su beneficio. Sumatoria de primas individuales = costo del plan.

Prima nivelada por empleado

$$ \text{P}_i = \dfrac{\text{VPOT}_i}{\sum_{k=0}^{R-x_i-1} {}_{k}p_{x_i}^{(\tau)} \cdot v^{k}} $$

Costo Normal total del plan

$$ \text{CN}^{ILP} = \sum_{i=1}^{N} \text{P}_i $$

Uso: planes de pensiones individualmente acreditados (Cash Balance); diseño de fondeo individual.
Limitaciones: matemáticamente equivalente a EAN aplicado individuo por individuo. No aceptado para reconocimiento NIF D-3 / IAS 19.

12. Prima de Antigüedad — LFT Art. 162

Beneficio obligatorio en México: 12 días de salario por cada año de servicio, con base topada a 2 salarios mínimos generales.

Beneficio pagado al evento de salida

$$ B^{PA}(x,t) = 12 \cdot \min\!\left( S_{\text{diario},x,t}, \; 2 \cdot \text{SMG}_t \right) \cdot (n+t) $$

OBD Prima de Antigüedad

$$ \boxed{\text{OBD}^{PA} = \sum_{t=0}^{R-x-1} \sum_{j} B^{PA}(x,t) \cdot \dfrac{n}{n+t} \cdot {}_{t|}q_x^{(j)} \cdot v^{t+1}} $$

Causas de pago según LFT Art. 162:

• Muerte del trabajador (cualquier antigüedad)
• Invalidez (cualquier antigüedad)
• Separación voluntaria del trabajador con ≥15 años de servicio
• Despido injustificado (cualquier antigüedad)
• Jubilación del trabajador

El factor de elegibilidad \( E_x \in \{0,1\} \) multiplica la causa de separación voluntaria según el umbral de 15 años.

13. Indemnización Legal — LFT Arts. 48-50

Beneficio pagado al trabajador en caso de despido injustificado: 3 meses de salario + 20 días por año de servicio + Prima de Antigüedad.

Beneficio pagado al despido

$$ B^{IL}(x,t) = \left( 90 + 20 \cdot (n+t) \right) \cdot S_{\text{diario},x,t}^{\text{integrado}} $$

Donde \( S^{\text{integrado}} \) incluye prestaciones devengadas (aguinaldo, vacaciones, prima vacacional).

OBD Indemnización Legal

$$ \boxed{\text{OBD}^{IL} = \sum_{t=0}^{R-x-1} B^{IL}(x,t) \cdot \dfrac{n}{n+t} \cdot {}_{t|}q_x^{(d)} \cdot v^{t+1}} $$

Nota: solo la causa de salida "despido" (\( d_x \)) genera el pago; las demás causas (muerte, invalidez, retiro voluntario, jubilación) no activan Indemnización Legal.

Probabilidad de despido

Se construye típicamente como un split del total de bajas: \( d_x = \alpha \cdot (q_x + i_x + w_x) \) con \( \alpha \approx 0.20 \) en industria mexicana (20% despido / 80% renuncia voluntaria, según experiencia).

14. Costo Neto del Periodo · CNP

Es el cargo a Resultados del ejercicio bajo NIF D-3 §90. Se compone de seis elementos:

$$ \text{CNP} = \text{CLSA} + \text{CF} - \text{REA} + \text{G/P}_{\text{exp}} + \text{CLSP} + \text{ELR} $$

15. Conciliación de OBD entre periodos

NIF D-3 §159 e IAS 19 §141 exigen explicar el movimiento del pasivo entre dos cierres consecutivos:

$$ \text{OBD}_{\text{final}} = \text{OBD}_{\text{inicial}} + \text{CLSA} + \text{CF} - B_{\text{pagados}} + \text{CLSP} + \Delta_H + \Delta_E + \text{ELR} $$